Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+x2+bx+1在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣12=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：求导f′（x）= +2x+b，由题意得：

f′（1）=4，f（1）=﹣8，

则 ，解得 ，

所以f（x）=12lnx+x2﹣10x+1

（2）解：f（x）定义域为（0，+∞），

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：x＜2或x＞3，

所以f（x）在（0，2）递增，在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，

故f（x）极大值=f（2）=12ln2﹣15，

f（x）极小值=f（3）=12ln3﹣20

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．