精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,平面PAC⊥底面ABCD,BC=CD= AC=2,∠ACB=∠ACD=

(1)证明:AP⊥BD;
(2)若AP= ,AP与BC所成角的余弦值为 ,求二面角A﹣BP﹣C的余弦值.

【答案】
(1)证明:如图,连接BD交AC于点O.

∵BC=CD,即△BCD为等腰三角形,又AC平分∠BCD,故AC⊥BD,

∵平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,

∴BD⊥平面PAC,

∵AP平面PAC,∴AP⊥BD.…


(2)作PE⊥AC于点E,则PE⊥底面ABCD,PE⊥BD,

以O为坐标原点, 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.

,而AC=4,得AO=AC﹣OC=3,

,故

设P(0,y,z)(z>0),则由 ,得(y+3)2+z2=5,

由cos< >= ,得 ,则y=﹣1,z=1,…..

设平面ABP的法向量为 ,平面BCP的法向量为

,取 ,得

,取 ,得

从而法向量 的夹角的余弦值为cos< >= =

由图可知二面角A﹣BP﹣C是钝角,故二面角A﹣BP﹣C的余弦值为


【解析】1、由已知连接BD交AC于点O,根据,BC=CD,得到AC⊥BD,,利用面面垂直的性质定理可得BD⊥平面PAC,即可得证。
2、根据已知建立直角坐标系,求出平面ABP、平面ABP的法向量,利用夹角公式求出二面角A﹣BP﹣C的余弦值。

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数f(x)= ﹣2alnx+(a﹣2)x,a∈R.
(1)当a=﹣1时,求函数f(x)的极值;
(2)当a<0时,讨论函数f(x)单调性;
(3)是否存在实数a,对任意的m,n∈(0,+∞),且m≠n,有 >a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC.

(1)若AB⊥BC,CP⊥PB,求证:CP⊥PA:
(2)若过点A作直线l⊥平面ABC,求证:l∥平面PBC.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】每年5月17日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠200元,选择套餐二的客户可获得优惠500元,选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图,现将频率视为概率.

(1)求某两人选择同一套餐的概率;
(2)若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和,求X的分布列和数学期望.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】运行如图所示的流程图,则输出的结果S是(  )

A.
B.
C.﹣1
D.1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】点P是双曲线 的右支上一点,其左,右焦点分别为F1 , F2 , 直线PF1与以原点O为圆心,a为半径的圆相切于A点,线段PF1的垂直平分线恰好过点F2 , 则离心率的值为(  )
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知点(2,3)在椭圆 上,设A,B,C分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点,且点C到直线AB的距离为
(I)求椭圆C的方程;
(II)设M(x1 , y1),N(x2 , y2)(x1≠x2)为椭圆上的两点,且满足 = ,求证:△MON的面积为定值,并求出这个定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知D是直角ABC斜边BC上一点,AC= DC,
(Ⅰ)若∠DAC=30°求角B的大小;
(Ⅱ)若BD=2DC,且 AD=2 ,求DC的长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<φ< )的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)的值为(  )
A.2468
B.3501
C.4032
D.5739

查看答案和解析>>

同步练习册答案