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已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)①当a<0时,函数f(x)的单调增区间为(-
a(a-1)
,0),(0,
a(a-1)
);
②当0<a<1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);
③当a>1时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-
a(a-1)
),(
a(a-1)
,+∞).
(2)由题设及(1)中③知
a(a-1)
=
6
,且a>1,解得a=3,因此函数解析式为f(x)=
3
x
3
+
2
3
x
( x≠0).
(3)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x,y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0).
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,P′(p′,q′)与P(p,q)关于直线l对称,且p≠p′,q≠q′,
则P′也在曲线C上,由此得
q+q/
2
=k•
p+p/
2
q-q/
p-p/
=-
1
k

且q=
p
3
+
2
3
p
,q′=
p/
3
+
2
3
p/
,整理得k-
1
k
=
2
3
,解得k=
3
或k=-
3
3

所以存在经过原点的直线y=
3
x
及y=-
3
3
x
为曲线C的对称轴.
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3-x
+
1
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3-x
+
1
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x
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