Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求实数a；
（2）当x∈[-2，0]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与函数极值的关系，由f′（-1）=0即可得出结论；
（2）利用导数判断函数的单调性求得函数的最值即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3ax-1在x=-1处取得极值．
∴f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，
∴a=1；
（2）由（1）得f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
∴由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
∴f（x）在[-2，-1]上是单调递增函数，在[-1，0]上是单调减函数，
∴当x=-1时，函数取得最大值f（-1）=1，
又f（-2）=-3，f（0）=-1，
∴函数f（x）在[-2，0]上的值域是[-3，1]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值知识，属中档题．