分析 ①配方得到$f(x)=\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$,这样根据$(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$便可求出$\frac{1}{1-x(1-x)}$的范围,即求出该函数的值域;
②可换元得到$\sqrt{1-2x}=t(t≥0)$,可解出x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$,从而得出y=$-\frac{1}{2}(t-1)^{2}+1$,由t≥0便可得出y的范围,即求出该函数的值域.
解答 解:①$f(x)=\frac{1}{{x}^{2}-x+1}=\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$;
∵$(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$;
∴$0<\frac{1}{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}≤\frac{4}{3}$;
∴该函数的值域为(0,$\frac{4}{3}$];
②令$\sqrt{1-2x}=t$,(t≥0),∴$x=\frac{1-{t}^{2}}{2}$;
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}(t-1)^{2}+1$;
∵t≥0;
∴$-\frac{1}{2}(t-1)^{2}+1≤1$;
∴该函数的值域为(-∞,1].
点评 考查函数值域的概念,配方法求二次函数的范围,以及根据不等式的性质求函数值域的方法,换元法求函数值域的方法.
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A. | 相交 | B. | 相切 | C. | 相离 | D. | 无法确定 |
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