Question

经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g(t)=

1

2

t+30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g（t）=45（31≤t≤50，t∈N）．
（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求日销售额S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；
（2）求出分段函数的最值即可．

解答：解：（1）当1≤t≤30时，由题知f（t）•g（t）=（-2t+200）•（

1

2

t+30）=-t²+40t+6000，
当31≤t≤50时，由题知f（t）•g（t）=45（-2t+200）=-90t+9000，
所以日销售额S与时间t的函数关系为S=

-t2+40t+6000，1≤t≤30 -90t+9000，31≤t≤50

；

（2）当1≤t≤30，t∈N时，S=-（t-20）²+6400，当t=20时，S_max=6400元；
当31≤t≤50，t∈N时，S=-90t+9000是减函数，当t=31时，S_max=6210元．
∵6210＜6400，
则S的最大值为6400元．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．