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    给定实数a≠0,a≠1,设函数y=(x∈R,且x≠),求证:

    (1)经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴；

    (2)这个函数的图象关于直线y=x对称.

    思路解析:对于(1),可转化为函数y=的图象与y=t(t∈R且t是常数)的图象交点个数不超过一个;对于(2),可证明函数的反函数与原函数是同一个函数.

    证明:(1)本题可转化为函数y=的图象与y=t(x∈R,t是常数)的图象交点个数不超过一个.

    令=t,得(at-1)x=t-1.若(at-1)≠0,则只有一个解;

    若at-1=0,得t=1.∴a=1=t,与a≠1矛盾.

    故经过这个函数图象上任意两点的直线,不平行于x轴.

    (2)由y=,得(ay-1)x=(y-1).

    若ay-1=0,则y=1,a=1与已知矛盾.

    ∴ay-1≠0,x=.

    ∴f-1 (x)=  (x∈R,x≠),

    即函数y= (x∈R,x≠)的反函数为其本身.

    所以这个函数的图象关于直线y=x对称.

    深化升华

    (1)一个函数若有反函数,则它的图象与y=t的图象最多有一个交点.

    (2)若一个函数图象关于y=x对称,则它的反函数是这个函数本身.

    (3)与本题有关的数学思想方法有转化思想和数形结合思想.

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    （2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

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    证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
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    （2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

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    证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
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    证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
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