Question

已知一个圆截y轴所得的弦长为2，被x轴分成的两段弧长的比为3：1．
（1）设圆心（a，b），求实数a、b满足的关系式；
（2）当圆心到直线l：x-2y=0的距离最小时，求圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设出圆心P的坐标和半径为r，根据圆被x轴分成的两条弧之比得到

2

|b|=r，两边平方得到一个关系式，记作①式，再根据弦长的一半，弦心距即为P的横坐标的绝对值，及圆的半径r，利用勾股定理列出另外一个关系式，记作②，两式联立消去r即可得到a与b满足的关系式；
（2）先利用点到直线的距离公式表示出圆心P到直线l的距离d，两边平方后，根据基本不等式及（1）得出的a与b的关系式即可得到d的最小值，当且仅当a=b取等号，把a=b与（1）得出的关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而确定出圆心坐标和圆的半径，写出圆的标准方程即可．

解答：解：（1）设圆心P（a，b），半径为r，则|b|=

r

2

，2b²=r²，①…（3分）
又|a|²+1=r²，所以a²+1=r²，②
联立①②消去r得：2b²=a²+1；…（6分）
（2）点P到直线x-2y=0的距离d=

|a-2b|

5

，
5d²=a²-4ab+4b²≥a²+4b²-2（a²+b²）=2b²-a²=1，…（9分）
所以

a=b 2b2=a2+1

，
所以

a=1 b=1

，或

a=-1 b=-1

，…（11分）
所以（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2．…（13分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，基本不等式以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．