Question

若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x恒成立，则称f（x）是“λ-同伴函数”．下列关于“λ-同伴函数”的命题：
①“

1

2

-同伴函数”至少有一个零点； 
②f（x）=x²是“λ-同伴函数”；
③f（x）=2^x是“λ-同伴函数”；      
④f（x）=0是唯一一个常值“λ-同伴函数”．
其中正确的命题个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由定义，得出条件方程．然后令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）＜0，由此可得结论．
②可以用反证法，举出反例．③设由条件方程，得到2^λ+λ=0，从而结合图象能确定方程到2^λ+λ=0有解，从而满足定义．
④设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”

解答：①令x=0，得f（

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）+

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2

f（0）=0，所以f（

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2

）=-f（0）．若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-（f（0））²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有实数根．因此任意的“-伴随函数”必有根，即任意“-伴随函数”至少有一个零点，故①正确
②用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”，则（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-伴随函数”，故②不正确；
③设f（x）=2^x是“λ-同伴函数”，则2^x+λ+λ?2^x=0，即2^x?2^λ+λ?2^x=0，所以2^λ+λ=0，即2^λ=-λ．作出函数y=2^x，y=-x，由图象可知2^λ=-λ．，有唯一解，所以③f（x）=2^x是“λ-同伴函数”．
④设f（x）=C是一个“λ-伴随函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”，故④不正确．
所以正确的命题是①③．
故选B．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．