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设f(x)=-x3+x2+2ax.
(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.
(1) a>-    (2) f(x)max=
(1)f(x)=-x3+x2+2ax,
∴f'(x)=-x2+x+2a,当x∈[,+∞)时,f'(x)的最大值为f'()=+2a.
函数f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,即导函数在(,+∞)上存在函数值大于零成立,
+2a>0a>-.
(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x2+x+2a的图象开口向下,且对称轴为x=,
∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0,
f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
则必有一点x0∈[1,4]使得f'(x0)=0,此时函数f(x)在[1,x0]上单调递增,在[x0,4]上单调递减,
f(1)=-++2a=+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此时,由f'(x0)=-+x0+2=0得x0=2或-1(舍去),
所以函数f(x)max=f(2)=.
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