Question

【题目】已知函数定义在上，且可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设，

（1）求出的解析式；

（2）若对于任意恒成立，求的取值范围；

Answer 1

【答案】(1)p(t)＝t2＋2mt＋m2－m＋1.(2)m≥－

【解析】试题分析：（1）根据和的奇偶性列关于和的方程组，求出和的解析式，从而求出的解析式即可；（2）问题转化为对于恒成立，令，根据函数的单调性求出的范围即可.

试题解析：(1)假设f(x)＝g(x)＋h(x)①，则　f(－x)＝g(x)－h(x)②，

由①②解得∴g(x)＝＝＝2x＋，

h(x)＝＝＝2x－.

由2x－＝t，则t∈R，平方得t2＝(2x－)2＝22x＋－2，

∴g(2x)＝22x＋＝t2＋2，∴p(t)＝t2＋2mt＋m2－m＋1.

(2)∵h(x)对于x∈[1,2]单调递增，∴≤t≤，

∴P(t)＝t2＋2mt＋m2－m＋1≥m2－m－1对于t∈[，]恒成立，

∴m≥－对于t∈[，]恒成立，

令φ(t)＝－，由φ(t)在t∈[，]上单调递减，

∴φ(t)max＝φ()＝－，∴m≥－为m的取值范围．