Question

18．已知sinα和cosα是方程4x²+2$\sqrt{6}$x+m=0的两个实数根．
（1）求m的值；
（2）求sin³α-cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用韦达定理求出sinα+cosα和sinαcosα，再利用（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα能求出m．
（2）由sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，sinαcosα=$\frac{1}{4}$，（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα，求出sinα-cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由立方差公式能求出sin³α-cos³α．

解答 解：（1）∵sinα和cosα是方程4x²+2$\sqrt{6}$x+m=0的两个实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=-\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{sinα•cosα=\frac{m}{4}}\end{array}\right.$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{m}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得m=1．
（2）由（1）得sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，sinαcosα=$\frac{1}{4}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinα-cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²α+cos²α+sinαcosα）
=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+$\frac{1}{4}$）
=±$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考察了三角函数的化简求值，要求熟练记忆和应用相关公式，属于基本知识的考查．