【题目】已知数列{an}的首项,
,
.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,若Sn<100,求最大正整数n;
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?如果存在,请给以证明;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)99;(3)不存在
【解析】试题分析:(1)根据可得
,根据
,可知
,即
,据此即可求证;(2)根据等比数列的通项公式可得
,进而即可表示出
,对其进行整理可得
,由于
,所以有
,即
,至此,即可得到最大正整数
;(3)首先假设存在,根据等差数列的性质可得
,再根据等比的性质可得
,结合(2)中得到的通项公式可将其化简为
,接下来再根据均值不等式可知
,当且仅当
时等号成立,至此,再根据
互不相等即可得结果.
试题解析:(1)因为=
+
,所以
-1=
-
.又因为
-1≠0,所以
-1≠0(n∈N*).
所以数列为等比数列.
(2)由(1)可得-1=
·
n-1,所以
=2·
n+1.
Sn=+
+…+
=n+2
=n+2·
=n+1-
,
若Sn<100,则n+1-<100,因为函数y= n+1-
单调增, 所以最大正整数n的值为99.
(3)假设存在,则m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,
因为an=,所以
=
2,
化简得3m+3n=2·3s,因为3m+3n≥2·=2·3s,
当且仅当m=n时等号,又m,s,n互不相等,所以不存在.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场举行促销活动,有两个摸奖箱,箱内有一个“
”号球,两个“
”号球,三个“
”号球、四个无号球,
箱内有五个“
”号球,五个“
”号球,每次摸奖后放回,每位顾客消费额满
元有一次
箱内摸奖机会,消费额满
元有一次
箱内摸奖机会,摸得有数字的球则中奖,“
”号球奖
元,“
”号球奖
元,“
”号球奖
元,摸得无号球则没有奖金。
(1)经统计,顾客消费额服从正态分布
,某天有
位顾客,请估计消费额
(单位:元)在区间
内并中奖的人数.(结果四舍五入取整数)
附:若,则
,
.
(2)某三位顾客各有一次箱内摸奖机会,求其中中奖人数
的分布列.
(3)某顾客消费额为元,有两种摸奖方法,
方法一:三次箱内摸奖机会;
方法二:一次箱内摸奖机会.
请问:这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值;
(3)若点在线段
上,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)上点M(3,m)到焦点F的距离为4.
(Ⅰ)求抛物线方程;
(Ⅱ)点P为准线上任意一点,AB为抛物线上过焦点的任意一条弦,设直线PA,PB,PF的斜率为k1,k2,k3,问是否存在实数λ,使得k1+k2=λk3恒成立.若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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