Question

（2011•黑龙江一模）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），定点A(0，-

3

)，F₁，F₂是圆锥曲线C的左，右焦点．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．

Answer 1

分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由椭圆的标准方程确定相关点的坐标，再由点斜式写出直线l的直角坐标方程，最后转化为极坐标方程即可
（2）将直线方程与椭圆标准方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算相交弦EF的长即可

解答：解：（1）圆锥曲线C的参数方程为

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），
所以普通方程为C：

x2

4

+

y2

3

=1∴A(0，-

3

)，F2(1，0)，F1(-1，0)
∴kAF2=

3

，l：y=

3

(x+1)
∴直线l极坐标方程为：ρsinθ=

3

ρcosθ+

3

即2ρsin(θ-

π

3

)=

3

（2）将直线

y= 3 (x+1)

代入椭圆标准方程

x2 4 + y2 3 =1

，得5x²+8x=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=0
∴|EF|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+3

64 25

=

16

5

点评：本题考查了椭圆的参数方程，标准方程及其互化，直线的直角坐标方程及与其极坐标方程的互化，直线与椭圆的位置关系，求相交弦长的方法．