Question

（2011•重庆一模）已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1d的右焦点，点A、B为抛物线上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（III）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知

p

2

=1，从而可求得抛物线的标准方程
证明：（Ⅱ）法一：设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，由y12=4x1，y22=4x2可求x₁x₂，而OA⊥OB可得KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1可求b，从而可求直线AB所经过的定点
法二：①当直线AB的斜率不存在时，易求直线AB的方程为x=4，
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，由y12=4x1，y22=4x2可求x₁x₂，而OA⊥OB可得KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-1可求b与k的关系，从而可求直线AB所经过的定点
（Ⅲ）可求点P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

 )到直线x-y=0的距离：d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

，结合方程的根与系数关系，代入整理，结合二次函数的性质可求d的最小值

解答：解：（Ⅰ）椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点（1，0），由题意知

p

2

=1
∴p=2．…（2分）
抛物线的标准方程为y²=4x．…（3分）
证明：（Ⅱ）法一：设直线AB方程为x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 

x=my+b y2=4x

   得y²-4my-4b=0．…（4分）
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b．…（5分）
∵OA⊥OB，y12=4x1，y22=4x2
∴KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1，
∴b=4．…（7分）
∴直线AB的方程为x=my+4，该直线恒过定点M（4，0）．…（8分）
法二：①当直线AB的斜率不存在时，易求直线AB的方程为x=4，
直线AB过定点（4，0）．  …（4分）
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），
由

y=kx+b y2=4x

得ky²-4y+4b=0．
则y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

．           …（5分）
∵OA⊥OB，y12=4x1，y22=4x2，
∴KOA•KOB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=

4k

b

=-1
∴b=-4k．…（7分）
直线AB的方程为y=kx-4k=k（x-4）该直线恒过定点M（4，0）．…（8分）
（Ⅲ）点P(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

 )到直线x-y=0的距离：d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

=

|y12+y22-4(y1+y2)|

8 2

=

|(y1+y2)2-2y1y2-4(y1+y2)|

8 2

=

|16m2+32-16m|

8 2

=

2

(m2-m+2)=

2

(m-

1

2

)2+

7 2

4

（10分）
∴m=

1

2

时，d取最小值为

7 2

4

．…（12分）

点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，点到直线的距离公式的应用及二次函数的性质的应用，属于综合试题