Question

已知椭圆C₁：=1,抛物线C₂：(y-m)²=2px(p＞0),且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(1)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(2)若p=且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

Answer 1

解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称.

所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）.

因为点A在抛物线上，所以=2p,即p=.

此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

（2）当C₂的焦点在AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).

由

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0                              ①

设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）(x₂,y₂),

则x₁、x₂是方程①的两根，x₁+x₂=.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，

所以|AB|=（2-x₁）+(2-x₂)=4-(x₁+x₂),

且|AB|=（x₁+）+(x₂+)=x₁+x₂+p=x₁+x₂+.

从而x₁+x₂+=4-(x₁+x₂).

所以x₁+x₂=,即

解得k²=6,即k=±.

因为C₂的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上，

所以m=-k,即m=或m=-.

当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1);

当m=-时，直线AB的方程为y=(x-1).