Question

已知函数，数列{a_n}满足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=4时，记，证明数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由知，数列{a_n}是常数列时，a_n+1=a_n=a，代入整理，得a的值．
（2）由，得b₁的值，∴b_n+1===…=b_n；∴数列{b_n}是等比数列，通项公式可求；由，也可求得{a_n}的通项公式．
解答：解：（1）∵，当数列{a_n}是常数列时，a_n+1=a_n=a，即，解得a=2，或a=1；∴所求实数a的值是1或2．
（2）∵，
∴，即．
∴数列{b_n}是以为首项，公比为的等比数列，
于是．
由，即，解得．
∴所求的通项公式．
点评：本题考查了数列与函数的综合运用，本题中用函数解析式表示数列的递推公式，推导数列的通项公式，计算量大，是较难的题目．