Question

证明：若函数f(x)在点x₀处可导，则函数f(x)在点x₀处连续.

Answer 1

分析：要证明f(x)在点x₀处连续，必须证明f(x)=f(x₀).根据函数在点x₀处可导的定义，逐步实现两个转化：一是趋向的转化；二是形式（变为导数定义式）的转化.

证法一：设x=x₀+Δx,则当x→x₀时，Δx→0.f(x)=f(x₀+Δx)

=［f(x₀+Δx)-f(x₀)+f(x₀)］

=［·Δx+f(x₀)］

=·Δx+f(x₀)

=f′(x₀)·0+f(x₀)=f(x₀).

∴函数f(x)在点x₀处连续.

证法二：∵函数f(x)在点x₀处可导，

∴在点x₀处有

［f(x)-f(x₀)］=Δy=(·Δx)

=·Δx=f′(x₀)·0=0.

∴f(x)=f(x₀).

∴函数f(x)在点x₀处连续.