Question

已知函数f(x)=

3

x

，x∈[3，7]
（1）判断函数f（x）的单调性，并利用定义法证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）任取3≤x₁＜x₂≤7，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（2）根据（1）可知函数的单调性，将区间端点的值代入即可求出最大值和最小值．

解答：解：（1）函数f（x）区间[3，7]上单调递减．
任取x₁，x₂∈[3，7]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

3

x1

-

3

x2

=

3(x2-x1)

x1x2

，
∵3≤x₁＜x₂≤7，∴x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[3，7]上单调递减．
（2）由（1）知，函数f（x）区间[3，7]上单调递减，
∴[f（x）]_min=f（7）=

3

7

，[f（x）]_max=f（3）=1．
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，

3

7

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明，以及应用单调性求函数的最值，同时还考查了学生的变形，转化能力，属中档题．