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【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,M、N分别是棱AA1、AD的中点,设E是棱AB的中点.

(1)求证:MN∥平面CEC1
(2)求平面D1EC1与平面ABCD所成角的正切值.

【答案】
(1)证明:∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,

AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,

M、N分别是棱AA1、AD的中点,设E是棱AB的中点,

∴DD1∥CC1,AD∥CE,

∵AD∩DD1=D,CC1∩CE=C,

AD,DD1平面A1DD1A,CC1,CE平面CEC1

∴平面A1DD1A∥平面CEC1

∵MN平面A1DD1A,∴MN∥平面CEC1


(2)解:平面D1EC1与平面ABCD所成角就是平面ABC1D1与平面ABCD所成的角,

∵CC1⊥平面ABCD,过C作CF⊥AB,交AB于F,连结C1F,

则∠CFC1是平面D1EC1与平面ABCD所成角,

∵CC1=AA1=2,CE=BC=BE=2,CF= =

∴tan∠CFC1= = =

∴平面D1EC1与平面ABCD所成角的正切值为


【解析】(1)推导出DD1∥CC1 , AD∥CE,从而平面A1DD1A∥平面CEC1 , 由此能证明MN∥平面CEC1 . (2)平面D1EC1与平面ABCD所成角就是平面ABC1D1与平面ABCD所成的角,过C作CF⊥AB,交AB于F,连结C1F,则∠CFC1是平面D1EC1与平面ABCD所成角,由此能求出平面D1EC1与平面ABCD所成角的正切值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.

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