Question

已知函数f(x)=

x+1

-ax在（3，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用换元法令t=

x+1

，由已知中函数f(x)=

x+1

-ax在（3，+∞）上单调递减，可得函数y=-at²+t-a（t＞2）单调递减，根据二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论即可得到答案．

解答：解：由于函数f(x)=

x+1

-ax在（3，+∞）上单调递减，
令t=

x+1

，则x=t²+1，
∵x＞3
∴t＞2，
于是函数化为y=-at²+t-a（t＞2）单调递减，
当a=0时，y=t，在t＞2时递增，符合题意；
当a＞0时，则有

1

2a

≤2?a≥

1

4

；
当a＜0时，则有

1

2a

≥2?∅；
综上a的取值范围是[

1

4

，+∞)

点评：本题考查的知识点是函数单调性，二次函数的图象与性质，其中在非基本初等函数时，利用换元法将函数的解析式化为基本初等函数是最常用的方法．