Question

20．若a，b，x，y∈R，且a²+b²=3，x²+y²=1，则ax+by的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据柯西不等式（x₁x₂+y₁y₂）²≤（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²），得到（ax+by）²≤（a²+b²）（x²+y²），进而求得ax+by的最大值．

解答 解：根据柯西不等式（x₁x₂+y₁y₂）²≤（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²），
⇒（ax+by）²≤（a²+b²）（x²+y²）=3×1=3，
当且仅当ay=bx时取等号，
所以，ax+by∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
因此，ax+by的最大值为$\sqrt{3}$，
故填：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用，解题的关键是利用了柯西不等式，属于基础题．