知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，直线l的方程为：
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于
、
两点
①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
②已知点
，求证：
为定值
（Ⅰ）
；（Ⅱ）（1）
，（2）定值为
【解析】
试题分析：(1) 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形,可以看作是以
长为底边，高为
的等腰三角形，故面积为
，从而可以列出等式
，又由离心率得
及
，可解出
，从而求出椭圆的方程 （2）直线和椭圆相交，其方程联立方程组，消去
，可得关于
的二次方程，利用韦达定理可得
，这就是相交弦的中点的横坐标，从而求出
，把
用坐标表示出来，借助（1）中的二次方程得出的
代入，就可证明出定值
试题解析：（Ⅰ）因为
满足，， 2分
，解得
，
，
则椭圆方程为 4分
（Ⅱ）（1）设
，将
代入并化简得
6分
，
则
是上述方程的解
， 7分
因为
的中点的横坐标为
，所以
，解得 9分
（2）由（1），
，
，为定值
考点：（Ⅰ）椭圆的标准方程与几何性质；（Ⅱ）直线与椭圆的位置关系问题
华东师大版一课一练系列答案
孟建平名校考卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| y2 |
| 2 |
| OA |
| OB |
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科目：高中数学 来源： 题型：
如图，F1，F2为椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| x0 |
| a |
| y0 |
| b |
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科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分13分）
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的
左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭
圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点
分别 为
和
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年重庆市高三下学期2月月考文科数学 题型：选择题
已知
是椭圆
上的点，以为圆心的圆与
轴相切于椭
圆的焦点
，圆与
轴相交于
两点.若
为锐角三角形，则椭圆的离心率
的取值范围为（ ）
A.
B. 
C.
D.
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的左焦点
,
为坐标原点,点
在椭圆上,点
在椭
,则椭圆的离心率为 ．