Question

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别是A，B，C为圆心，AC，BA₁，CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，AA₃半径画弧，如此继续下去，这样画到第n圈．设所得螺旋线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度为S_n．求
（1）S₁=

4π

；
（2）S_n=

n（3n+1）π

．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，即为螺旋线CA₁A₂A₃的长度和，所以S₁=

2π

3

+2×

2π

3

+3×

2π

3

=4π
（2）由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为

2π

3

，根据弧长公式得到这些弧长是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=

2π

3

+2×

2π

3

+3×

2π

3

=4π
（2）根据弧长公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度分别为：

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π× 2

π

，…，

2π 3 ×π×3n

π

，
化简得：

2π

3

，2×

2π

3

，3×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此数列是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案为：4π、n（3n+1）π

点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列，此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力．