Question

已知数列{a_n}中a_n+1-2a_n=0，若a₃+2是a₂，a₄的等差中项，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=2ⁿ•log

1

2

an，则使S_n+n•2ⁿ⁺¹=50成立的正整数n等于（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由于数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0，则可求出等比数列的公比，再利用a₃+2是a₂，a₄的等差中项，列式求出首项，则等比数列的通项公式可求；求出b_n，再由数列求和的错位相减法即可求出S_n，进而可得使S_n+n•2ⁿ⁺¹=50成立的正整数n的值．

解答： 解：∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，则2a₁+8a₁=8a₁+4，即a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．
∴b_n=2ⁿ•log

1

2

a_n=-n•2ⁿ，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴-n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵-（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹=50成立，只需2ⁿ⁺¹-2=50成立，即2ⁿ⁺¹=52，∴n=5
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹=50成立的正整数n为5．
故选：B．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是中档题．