Question

如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面垂直，P为AE的中点，N是平面ABCD内的动点，且PN与平面PBC线面所成角为

π

4

，那么，动点N在平面ABCD内的轨迹是（　　）

A．一线段

B．一段圆弧

C．一个椭圆

D．一段抛物线

Answer 1

分析：建立坐标系，确定向量PN的坐标与平面PBC法向量的坐标，利用PN与平面PBC线面所成角为

π

4

，即可求得动点N在平面ABCD内的轨迹．

解答：解：建立如图所示的坐标系，

设正方形的边长为2，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，1，1）
设N（x，y，0），则

PN

=(x，y-1，1)，

PA

=(0，-1，-1)
∴正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面垂直，P为AE的中点，
∴PA⊥平面PBC
∴

PA

是平面PBC的法向量
∵PN与平面PBC线面所成角为

π

4

，
∴cos

π

4

=

PA • PN

| PA || PN |

∴

2

2

=

1-y+1

x2+(y-1)2+1 × 2

∴x²=2-2y（y＞0）
∴动点N在平面ABCD内的轨迹是一段抛物线，
故选D．

点评：本题考查轨迹方程，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．