【题目】已知函数.
(Ⅰ)若为
的极值点,求实数
的值;
(Ⅱ)若在
上为增函数,求实数
的取值范围;
(III)当时,方程
有实根,求实数
的最大值.
【答案】(I);(II)
;(III)
.
【解析】
试题分析:(I)借助题设条件运用极值的定义建立方程求解;(II)借助题设运用分类整合的数学思想分析推证;(III)依据题设构造函数运用导数的知识探求.
试题解析:
(I)
因为为
的极值点,所以
,即
,解得
。
(II)因为函数在
上为增函数,所以
在
上恒成立。
当时,
在
上恒成立,所以
在
上为增函数,故
符合题意。
当时,由函数
的定义域可知,必须有
对
恒成立,故只能
,所以
在
上恒成立。
令函数,其对称轴为
,因为
,所以
,要使
在
上恒成立,只要
即可,即
,所以
。因为
,所以
。
综上所述,a的取值范围为。
(Ⅲ)当时,方程
可化为
。
问题转化为在
上有解,即求函数
的值域。
因为函数,令函数
,
则,
所以当时,
,从而函数
在
上为增函数,
当时,
,从而函数
在
上为减函数,
因此。
而,所以
,因此当
时,b取得最大值0.
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【题目】已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}是b1=1的等比数列,且.
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn= an bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了保护环境,2015年合肥市胜利工厂在市政府的大力支持下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本(万元)与处理量
(吨)之间的函数关系可近似地表示为:
且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.
(1)当时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(其中
).
(Ⅰ) 当时,若
在其定义域内为单调函数,求
的取值范围;
(Ⅱ) 当时,是否存在实数
,使得当
时,不等式
恒成立,如果存在,求
的取值范围,如果不存在,说明理由(其中
是自然对数的底数,
=2.71828…).
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,点
为坐标原点,若椭圆
与曲线
的交点分别为
(
下
上),且
两点满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作
的两条切线,切点分别为
,且直线
在
轴、
轴上的截距分别为
,证明:
为定值.
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