【题目】上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组;第二组;……;第六组,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
【答案】(1)平均分68,众数65;(2)
【解析】
(1)先求得成绩在区间内的频率,然后根据平均数的计算公式,计算出平均分,利用最高的小长方形求得众数.
(2)先求得、的人数,然后用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.
(1)因各组的频率之和为1,所以成绩在区间内的频率为
.
所以平均分,
众数的估计值是65.
(2)设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间内”,
由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有:人,
记这4名学生分别为,,,,
成绩在区间内的学生有人,记这2名学生分别为,,
则从这6人中任选2人的基本事件为:,,,,,,,,,,,,,,,共15种,
事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为:,,,,
,,,,,共9种,所以.
故所求事件的概率为:.
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【题目】判断下列命题的真假:
(1)存在两个无理数,它们的乘积是有理数;
(2)如果实数集的子集A是有限集,则A中的元素一定有最大值;
(3)没有一个无理数不是实数;
(4)如果一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形;
(5)集合A是集合的子集;
(6)集合是集合A的子集.
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【题目】甲、乙两城相距100,在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电,为保证城市安全,核电站距两地的距离不少于10.已知各城供电费用(元)与供电距离()的平方和供电量(亿千瓦时)之积都成正比,比例系数均是=0.25,若甲城供电量为20亿千瓦时/月,乙城供电量为10亿千瓦时/月,
(1)把月供电总费用(元)表示成()的函数,并求其定义域;
(2)求核电站建在距甲城多远处,才能使月供电总费用最小.
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【题目】如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
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【题目】某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m以后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰角为30°,则塔高为________________m.
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【题目】某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校2015年自主招生考试的学生人数如下表所示:
中学 | A | B | C | D |
人数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况,采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查.则A,B,C,D四所中学抽取的学生人数分别为( )
A.15,20,10,5B.15,20,5,10
C.20,15,10,5D.20,15,5,10
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【题目】如图所示,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
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