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已知函数f(x)=
a•2x+a-22x+1

(1)当a为何值时,f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)为R上的增函数.
分析:(1)先由f(0)=0,得a=1,然后求出f(x)定义域为R,关于原点对称,再证明f(-x)=-f(x)即可;
(2)化函数为f(x)=a-
2
2x+1
,再由函数单调性的定义证明.
解答:(1)解:由f(0)=0,得a=1,则f(x)=
2x-1
2x+1

函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-
2x-1
2x+1
=-f(x).
所以a=1时,f(x)为奇函数.
(2)证明:函数可化为f(x)=a-
2
2x+1
,定义域为R.
设x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(a-
2
2x1+1
)-(a-
2
2x2+1
)=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

因为x1<x2,所以2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以f(x)为R上的增函数.
点评:本题考查函数奇偶性的判断及函数单调性的证明,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
12x+1

(1)求证:不论a为何实数f(x)总是为增函数;
(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)图象经过点Q(8,6).
(1)求a的值,并在直线坐标系中画出函数f(x)的大致图象;
(2)求函数f(t)-9的零点;
(3)设q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函数q(t)的单调递增区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)为奇函数,则a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)考察f(x)在定义域上单调性的情况,并证明你的结论.

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