Question

15．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC₁上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=$\frac{1}{2}$时，S的面积为$\frac{9}{8}$；若S为五边形，则此时CQ取值范围（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．

解答 解：如图：

当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9}{8}$； 
当CQ=$\frac{3}{4}$时，如下图，
，
延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连结AN交A₁D₁于S，
连结QN交C₁D₁于R，连结SR，则AN∥PQ，
由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2．
∴C₁R=$\frac{1}{3}$，RD₁=$\frac{2}{3}$，

∴当$\frac{1}{2}$＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．