Question

12．已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）≥8；
（2）若不等式f（x）＜a²-3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过解各个区间上的x的范围去并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2，x≤-3}\\{4，-3＜x＜1}\\{2x+2，x≥1}\end{array}\right.$，
当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
当-3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}．
（2）因为f（x）=|x-1|+|x+3|≥4，
又不等式f（x）＜a²-3a的解集不是空集，
所以，a²-3a＞4，所以a＞4或a＜-1，
即实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，是一道中档题．