Question

【题目】已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1 ， x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有 ．给出下列命题： ①f（3）=0；
②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0． ②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），
而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），
所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．
③：当x1 ， x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．
④：f（3）=0，f（x）的周期为6，
所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0
函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．
所以答案是：①②④．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的零点的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点才能正确解答此题．