Question

函数f(x)=sin2x--.
(1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值.
(2)若不等式[f(x)-m]²<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

(1) 当2x-=,即x=时,f(x)_max=0,
当2x-=,即x=时,f(x)_min=-.
(2) (-1,)

【思路点拨】(1)先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式.利用所给x的范围,求得最值及对应x的值.(2)利用不等式变换转化成不等式恒成立问题求解.
解:(1)f(x)=sin 2x--
=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,
∵x∈[,],∴≤2x-≤,
当2x-=,即x=时,f(x)_max=0,
当2x-=,即x=时,f(x)_min=-.
(2)方法一:∵[f(x)-m]²<1(x∈[,])?
f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),
∴m>f(x)_max-1且m<f(x)_min+1,
故m的取值范围为(-1,).
方法二:∵[f(x)-m]²<1?m-1<f(x)<m+1,
∴m-1<-且m+1>0,故-1<m<,
故m的取值范围是(-1,).