Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

3

）•cos（x+

π

3

）-sin（2x+3π）．
（I）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（I）由三角函数的恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x+

π

3

），由周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知可得g（x）=cos（2x+

π

3

），从而可求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（I）∵f（x）=2sin（x+

π

3

）•cos（x+

π

3

）-sin（2x+3π）．
=sin（2x+

2π

3

）+sin2x=sin2xcos

2π

3

+cos2xsin

2π

3

+sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin（2x+

π

3

）
∴T=

2π

2

=π
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
故f（x）的单调递增区间是：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z
（Ⅱ）由已知可得g（x）=f（x+

π

4

）=sin[2（x+

π

4

）+

π

3

]=sin（2x+

π

2

+

π

3

）=cos（2x+

π

3

）
∴x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
故当2x+

π

3

=π，即x=

π

3

时，g（x）_min=g（

π

3

）=-1；
故当2x+

π

3

=

π

3

，即x=0时，g（x）_max=g（0）=

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．