Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，平面ABD和平面A₁B₁C的交线为MN．
（Ⅰ）试证明AB∥MN；
（Ⅱ）若直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°，试求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）要证线线平行，可先证线面平行，再根据线面平行的性质，证明线线平行；
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角，再利用解三角形的办法解答．

解答：证明：（Ⅰ）由题意AB∥A₁B₁，
又A₁B₁?平面CA₁B₁，AB∉平面CCA₁B₁，∴AB∥平面CA₁B₁
又AB?平面DAB，平面DAB∩平面CA₁B₁=MN，∴AB∥MN

（Ⅱ）取BC中点E，连AE，过E作EF⊥BD于F，连AF．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB₁C₁C，且交线为BC
∴AE⊥侧面BB₁C₁C
又EF⊥BD，AF⊥BD
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角
连ED，则直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为∠ADE=45°．
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为x．则在Rt△AED中，
tan45°=

AE

ED

=

3

1+ x2 4

解得x=2

2

．
此正三棱柱的侧棱长为2

2

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，sin∠EBF=

CD

BD

=

3

3

，
EF=

3

3

．又AE=

3

∴在Rt△AEF中，tan∠AFE=

AE

EF

=3．
故二面角A-BD-C的大小为arctan3

点评：（1）对于已知条件中出现了（或容易证明）有关的面面平行的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而得到线线（或线面）平行，从而将问题解决．
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，通过解∠AFE所在的三角形求得∠AFE．其解题过程为：作∠AFE→证∠AFE是二面角的平面角→计算∠AFE，简记为“作、证、算”．