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    若椭圆E1：
    x2
    a21
    +
    y2
    b21
    =1    和椭圆E2：
    x2
    a22
    +
    y2
    b22
    =1    满足
    a2
    a1
    =
    b2
    b1
    =m(m＞0)    ，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
    （Ⅰ）求过（2，
    		6
    )    且与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    相似的椭圆的方程；
    （Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
    ①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
    ②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
    （Ⅰ）设与
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    相似的椭圆的方程
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ．
    则有
    2
    a
    =
    		2
    b
    4
    a2
    +
    6
    b2
    =1
    …（3分）
    解得a2=16，b2=8．
    所求方程是
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    ．…（4分）
    （Ⅱ）①当射线l的斜率不存在时A(0，±
    		2
    )，B(0，±2
    		2
    )    ，
    设点P坐标P（0，y0），则y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（5分）
    当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
    由A（x1，y1），B（x2，y2）则
    y1=kx1
    x21
    4
    +
    y21
    2
    =1

    得
    x21
    =
    4
    1+2k2
    y21
    =
    4k2
    1+2k2

    ∴|OA|=
    2
    		1+k2
    		1+2k2
    同理|OB|=
    4
    		1+k2
    		1+2k2
    …（7分）
    又点P在l上，则k=
    y
    x
    ，且由x2+y2=
    8(1+k2)
    1+2k2
    =
    8(1+
    y2
    x2
    )
    1+2
    y2
    x2
    =
    8(x2+y2)
    x2+2y2
    ，
    即所求方程是
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．
    又∵（0，±2）适合方程，
    故所求椭圆的方程是
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．…（9分）
    ②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=
    		2
    •2
    		2
    =4    ，当l的斜率存在时，
    |OA|•|OB|=
    8(1+k2)
    1+2k2
    =4+
    4
    1+2k2
    ，
    ∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
    综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
    （1）试求抛物线C的标准方程；
    （2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知点M（
    		3
    ，0），椭圆
    x2
    4
    +y2=1与直线y=k（x+
    		3
    ）交于点A、B，则△ABM的周长为（　　）
    A．4B．8C．12D．16

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在直线y=x-2上是否存在点P，使得经过点P能作出抛物线y=
    1
    2
    x2    的两条互相垂直的切线？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点(1，
    q
    2
    )    ，且离心率e=
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
    1
    8
    ，0)    ，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)    的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于
    		3
    2
    (a-c)    ．
    （1）求椭圆的离心率e的取值范围；
    （2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （A题）如图，在椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    8
    =1（a＞0）中，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，B，D分别为椭圆的左右顶点，A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线AF1交y轴于点E，且点F1，F2三等分线段BD．
    （1）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标；
    （2）设m=
    S△AF1O
    S△AEO
    ，n=
    S△CF1O
    S△CEO
    ，求m+n的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    双曲线
    x2
    v
    -
    y2
    图6
    =图    的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知
    1
    m
    +
    2
    n
    =1(m＞0，n＞0)    ，当mn取得最小值时，直线y=-
    		2
    x+2    与曲线
    x|x|
    m
    +
    y|y|
    n
    =1    交点个数为______．

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