Question

在数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是首项为a₁，公差为d等差数列（a₁•d≠0），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断数列{b_n}是否为等比数列？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）仿写等式，两式相减得到a_nb_n⁼n•2^n-1，利用等比数列的通项公式，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）直接求出等差数列的通项公式，利用（1）推出的关系式，求出数列{b_n}的通项公式即可．
（3）直接利用a_nb_n的关系式，转化为等差数列的关系式，推出数列b_n的关系，利用等比数列等比中项判断即可．

解答：解：（1）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1．
两式相减a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^n-1₌n•2^n-1
因为{b_n}数列是首项为1，公比为2的等比数列，则b_n=2^n-1
所以a_n=n；
（2）数列{a_n}是首项为a₁，公差为d等差数列（a₁•d≠0），a_n=a₁+（n-1）d，
由（1）可知a_nb_n=n•2^n-1，所以b_n=

n•2n-1

a1+(n-)d

．
数列{b_n}的通项公式：b_n=

n•2n-1

a1+(n-)d

．
（3）{a_n}是等差数列 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^n-1=n•2^n-1
所以 a_n=

n•2n-1

bn

，
a_n-1=

(n-1)•2n-2

bn-1

，
a_n-2=

(n-2)•2n-3

bn-2

，
{a_n}是等差数列 2a_n-1=a_n-2+a_n
即2×

(n-1)•2n-2

bn-1

=

n•2n-1

bn

+

(n-2)•2n-3

bn-2

，即

4(n-1)

bn-1

=

4n

bn

+

n-2

bn-2

若{b_n}是等比数列，则b_n-1²=b_n-2•b_n，上式不满足b_n-1²=b_n-2•b_n，所以不成立
所以数列{b_n}不是等比数列．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列通项公式的求法，等差数列与等比数列的判定，考查分析问题解决问题的能力．