Question

18．已知二次函数f（x）满足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值为8．
（1）求二次函数解析式；
（2）求x∈[m，3]（m＜3）时函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的解析式，代入坐标求解a即可得到二次函数的解析式．
（2）利用二次函数的对称轴以及性质求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）由题意二次函数f（x）满足f（2）=-1，f（-1）=-1，
可知二次函数可设为$f（x）=-a{（x-\frac{1}{2}）^2}$+8，把f（2）=1代入
可解得a=4，所以$f（x）=-4{（x-\frac{1}{2}）^2}+8=-4{x^2}$+4x+7
（2）当m≤-2时，函数f（x）的左端点离对称轴x=$\frac{1}{2}$远，
所以f（x）_min=f（m）=-4m²+4m+7；
当3≥m＞2时，函数f（x）的右端点离对称轴远，
所以f（x）_min=f（3）=-17；
所以f（x）_min=$\left\{{\begin{array}{l}{-4{m^2}+4m+7，m≤-2}\\{-17，2＜m≤3}\end{array}}$．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质的应用，考查计算能力．