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    如图所示，设P1，P2，…，Pn，…是半抛物线上的点列，Q1，Q2，…Qn，…是x轴正半轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…都是正三角形．设它们的边长为a1，a2，…，an，…，求证：a1+a2+…+ an=n(n+1)．

     

     

    答案：
    提示：

    证明：(1)当n=1时，因为P1是直线y=与半抛物线y=的交点，

    　　∴　P1点的坐标为

    　　∴　a1=|OP1|=

    　　而，命题成立．

    　　(2)假设n=k时命题成立，即

    　　a1+a2+…+ak

    　　则Qk点的坐标为，直线QkPk+1的方程为y=，代入y=，解得Pk+1点的坐标为，

    　　ak+1=|QkPk+1|

    　　　

    　　　

    　　由此可得　a1+a2+…+ak+ak+1

    　　　　　　

    　　　　　　

    　　这说明n=k+1时命题也成立．

    由(1)、(2)可知，命题对所有n(n∈N*)都成立．

     


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）过一点向平面引垂线，________叫做这个点在这个平面内的射影；当这一点在平面内时，该点在平面上的射影就是它______；这一点与_______的线段叫做这点到这个平面的_______.如图所示，直线PQ⊥α,Q∈α,则点Q是______在平面α内的_____，线段_______是点_______到平面α的______.?

    （2）一条直线和一个平面相交，但不______时，这条直线就叫做这个平面的_______，斜线与平面的交点叫做_____.从平面外一点向平面引斜线，这点与________间的线段叫做这点到这个平面的_______.如图所示，直线PR∩α=R,PR不______于α,直线PR是α的一条_____，点R为_______，线段_____是点P到α的______.?

    （3）平面外一点到这个平面的垂线段______条，而这点到这个平面的______有无数条.?

    （4）从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足的直线叫做斜线在这个平面内的_______，________与________间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的________.如图所示，直线_____是直线PR在平面α上的______，线段______是点P到平面α的斜线段PR在平面α上的射影.?

    （5）斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的_____上.事实上，设a是平面α的斜线，B为斜足，在a上任取一点A，作AA1⊥α,A1是垂足，则A1、B确定的直线a′是a在平面α内的______，如图所示，设P是a上任意一点，在a和AA1确定的平面内，作PP1∥AA1,PP1必与a′相交于一点P1.∵AA1α__________ ,PP1______________AA1，∴PP1__________α.P1为P在平面α上的射影，所以点P在平面α上的射影一定在直线a在平面α上的射影a′上.

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