Question

函数f(x)=

2x

x2+1

的定义域为[-

1

2

，

1

2

]．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设函数g(x)=x3-3ax+

7

8

(-

1

2

≤x≤

1

2

，且a≥

1

4

)．若对于任意x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，总存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，根据函数的定义域，可知导数大于0，从而函数在定义域内为增函数，所以可求函数的值域；（2）对函数g（x）求导，得 g′（x）=3（x²-a），根据a≥

1

4

，x∈[-

1

2

，

1

2

]，可知g′（x）≤0，所以当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，g（x）为减函数，从而可求函数g（x）的值域；任给x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]，要使存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]使得g（x₂）=f（x₁），则函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，从而可得结论．

解答：解：（1）求导函数，f′(x)=

2(1+x)(1-x)

(x2+1)2

，∵定义域为[-

1

2

，

1

2

]，∴f′（x）＞0
∴函数在定义域内为增函数，所以函数的值域为f(x)∈[f(-

1

2

)，f(

1

2

)]即f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]
（2）对函数g（x）求导，得 g′（x）=3（x²-a）
因此a≥

1

4

，当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，g′（x）≤0，所以当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，g（x）为减函数，
从而当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，有g(x)∈[g(

1

2

)，g(-

1

2

)]
即当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，g(x)∈[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]--------------（8分）
任给x₁∈[-

1

2

，

1

2

]，f(x)∈[-

4

5

，

4

5

]，存在x₂∈[-

1

2

，

1

2

]使得g（x₂）=f（x₁），
则[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]?[-

4

5

，

4

5

]-----（10分）
即

1- 3 2 a≤- 4 5 3 4 + 3 2 a≥ 4 5

，结合  a≥

1

4

解得 a≥

6

5

--（12分）

点评：本题以具体函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的值域，同时考查存在性问题的求解，其中将函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，是解题的关键．