(1)设φ(x)=,x∈[2,4],证明φ(x)∈A;
(2)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;
(3)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|.
证明:(1)对任意的x∈[1,2],φ(2x)=,x∈[1,2],≤φ(2x)≤,1<<<2,所以φ(2x)∈(1,2).
对任意的x1,x2∈[1,2],
|φ(2x1)-φ(2x2)|
=|x1-x2|,
3<,
所以0<<,
令=L,0<L<1,
|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
所以φ(x)∈A.
(2)反证法:假设存在两个x0,x0′∈(1,2),x0≠x0′,使得x0=φ(2x0),x0′=φ(2x0′),则
由|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|,得|x0-x0′|≤L|x0-x0′|,所以L≥1,矛盾,故结论成立,
(3)|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|,所以|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|,
|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…+(xk+1-xk)|≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|≤|x2-x1|.
科目:高中数学 来源: 题型:
3 | 1+x |
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科目:高中数学 来源: 题型:
3 | 1+x |
Lk-1 |
1-L |
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科目:高中数学 来源:延庆县一模 题型:解答题
3 | 1+x |
Lk-1 |
1-L |
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科目:高中数学 来源: 题型:
①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0<L<1),使得对任意x1、x2∈[1,2],都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.
(1)设φ(x)=,x∈[2,4],证明φ(x)∈A;
(2)设φ(x)∈A,证明如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么这样的x0是唯一的;
(3)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式:|xk+p-xk|≤|x1-x2|.
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