如图,四边形中(图1),,中点为,将图1沿直线折起,使二面角为(图2)
(1)过作直线平面,且平面=,求的长度。
(2)求直线与平面所成角的正弦值。
(1)(2)
【解析】
试题分析:因为,中点为,连接AF,EF.
∵∴AF⊥BD,
∵,∴DB2+DC2=BC2,∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,
∵平面,DB=2,∴EF为△BCD的中位线,∴EF∥CD,且EF=CD,
∴EF⊥BD,EF=,
∴∠AFE是二面角A-BD-C的平面角,∠AFE=60°.∴△ABD为等腰直角三角形,∴AF=BD=1,
∴AE=,在直角三角形DFE中,.
(2)以F为原点,FB所在直线为x轴,FE所在直线为y轴,平行于EA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),E(0,,0),A(0,,),
D(-1,0,0),C(-1,1,0),
则=(1,-,-) , =(0,-1,0),=(-1,-,-),。
设平面ACD的法向量为
=(x,y,z),
则,
∴,y=0,
令x=,则z=-2,∴=(,0,-2),故由公式可得直线与平面所成角的正弦值为。
考点:三棱锥的几何特征,平行关系,垂直关系,角的计算。
点评:中档题,立体几何问题中,平行关系、垂直关系,角、距离、面积、体积等的计算,是常见题型,基本思路是将空间问题转化成为平面问题,利用平面几何知识加以解决。要注意遵循“一作,二证,三计算”。通过建立空间直角坐标系,利用空间向量,可简化证明过程。
科目:高中数学 来源:广东省云浮中学2012届高三第一次模拟考试数学理科试题 题型:044
如图,四边形ABCD中(图1),E是BC的中点,BD=2,BC=1,BC=,AB=AD=.将(图1)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60°(如图2)
(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
(3)求点B到平面ACD的距离.
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科目:高中数学 来源:江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考数学理科试题 题型:044
如图,四边形ABCD中(图1),E是BC的中点,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.将(图1)沿直线BD折起,使二面角A-BD-C为60°(如图2)
(1)求证:AE⊥平面BDC;
(2)求二面角A-DC-B的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三第一次模拟考试理科数学 题型:解答题
(本小题满分14分)
如图,四边形中(图1),是的中点,,,将(图1)沿直线折起,使二面角为(如图2)
(1)求证:平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源:广东省云浮中学2011-2012学年高三第一次模拟考试(数学理科) 题型:解答题
如图,四边形中(图1),是的中点,,,将(图1)沿直线折起,使二面角为(如图2)
(1)求证:平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
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