Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}

（Ⅱ）f（x）为偶函数．

∵f（x）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x）

∴f（x）为偶函数；

（III）证明：f（x）= = = ﹣1，

设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣

=2（ ） ，

∵1＜x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数

【解析】（Ⅰ）根据函数成立的条件进行求解即可．（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明．（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．