Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x²．
（Ⅰ） 求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，问是否存在x₀，使得f（x），g（x）在x=x₀处的切线互相平行？若存在，请求出x₀值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先取x＜0，-x＞0，再由奇函数的性质f（x）=-f（-x）及x≥0时，f（x）=2x²．求出解析式即可
（Ⅱ）求出两个函数的导数，令f'（x₀）=g'（x₀），若此方程有根，则说明存在，否则说明不存在

解答：解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）²=-2x²；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x₀处的切线互相平行，则f'（x₀）=g'（x₀），（4分）
f′(x0)=4x0=g′(x0)=

1

x0

，解得，x0=±

1

2

∵x≥0，得x0=

1

2

（4分）

点评：本题考查奇函数，求解本题的关键是根据奇函数的性质得到方程解出x＜0时，f（x）的表达式，熟练掌握导数的几何意义，建立导数的方程求方程的根，以此来确定这样的直线存在与否．