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已知圆A:(x+2
2
2+y2=64,动圆M过点B(2
2
,0),且和圆A相切,动圆的圆心M的轨迹为曲线C
(1)求C的方程;
(2)点P是曲线C上横坐标大于2的动点,点D,E在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PDE,求△PDE面积的最小值.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(1)圆心A(-2
2
,0),半径r1=8,动圆M的圆心为M(x,y),半径为r2,依题意有r2=|MB|,从而推导出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,由此能求出椭圆C的方程.
(2)设P(x0,y0),(2<x0≤4),D(0,m),E(0,n),设m>n,直线PD的方程为(y0-m)x-x0y+x0m=0,又(x0-2)m2+2y0m-x0=0,(x0-2)x2+2y0x-x0=0.由此能求出△PDE的面积的最小值.
解答: 解:(1)圆A:(x+2
2
2+y2=64的圆心A(-2
2
,0),半径r1=8,
动圆M的圆心为M(x,y),半径为r2
依题意有r2=|MB|,
由|MB|=4
2
,知点B在圆A内,从而圆M内切于圆A,
∴|MA|=r1-r2,即|MA|+|MB|=8,
∴点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(a>b>0),
由2a=8,2c=4
2
,得a=4,c=2
2
,b2=16-8=8,
∴椭圆C的方程为
x2
16
+
y2
8
=1

(2)设P(x0,y0),(2<x0≤4),D(0,m),E(0,n),设m>n,
直线PD的方程为y-m=
y0-m
x0
x

即(y0-m)x-x0y+x0m=0,
又圆心(1,0)到直线PD的距离为1,即
|y0-m+x0m|
(y0-m)2+x02
=1

x0>2,化简,得:
(x0-2)m2+2y0m-x0=0,
同理(x0-2)x2+2y0x-x0=0
∴m,n是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两个根,
∴m+n=-
2y0
x0-2
,mn=-
x0
x0-2

∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=
4x02+4y02-8x0
(x0-2)2

又∵
x02
16
+
y02
8
=1
,∴2y02=16-x02
∴(m-n)2=
2x02-8x0+32
(x0-2)2

设△PDE的面积为S,
S2-
1
4
(m-n)2x0   2
=
x02-4x0+16
2(x0-2)2
x02
=
(x0-2)2+12
2(x0-2)2
x02

令x0-2=t,(0<t≤2),则x0=t+2,
记f(t)=
(t2+12)(t+2)2
2t2

f(t)=
(t-2)(t2-24)
t3
<0
,∴f(t)在(0,2]上单调递减,
当t=2,即x0=4时,f(t)min=f(2)=32,∴Smin=4
2

∴△PDE的面积的最小值为4
2
点评:本题考查曲线方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用.
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