Question

【题目】已知为椭圆（）的一个焦点，过原点的直线与椭圆交于、两点，且，△的面积为。

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）可通过椭圆上的点到两焦点的距离之和为、、三式联立求得，再与解得椭圆离心率。

（ 2）首先可以通过第一小题得出椭圆方程，再设出直线的方程,与椭圆联立解得的值，再设出线段中点坐标为，最后求得点横坐标的取值范围。

（1）设椭圆的焦半距为，左焦点为，因为所以

由椭圆的对称性可知四边形为矩形， ，

所以 ，

得，由消去上式的得，

即，椭圆C的离心率 ，

（2）因为的坐标为，由（1）中，所以，

，椭圆的方程为，

设直线的斜率为，直线不与坐标轴垂直故，

直线的方程为 ，

将方程与椭圆方程联立得： 消得：，

由韦达定理得：，设线段中点坐标为，则，

则垂直平分线的方程为。令，点横坐标为：

，

因为，所以，

故点横坐标的取值范围为：。