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12.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)在[-1,1]的最大值、最小值分别为(  )
A.0,-4B.$\frac{4}{27}$,-4C.$\frac{4}{27}$,0D.2,0

分析 因为f(x)与x轴相切且切点为(1,0)则(1,0)代入到f(x)中得到p+q=1;又因为相切时函数与x轴只有一个交点即根的判别式=0得p2+4q=0,解出p、q的值确定出f(x),求出函数的单调区间,从而求出f(x)的最大值和最小值即可.

解答 解:由函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0)得:
p+q=1,p2+4q=0.解出p=2,q=-1
则函数f(x)=x3-2x2+x
则f′(x)=3x2-4x+1令其=0得到:x=1或x=$\frac{1}{3}$,
令f′(x)>0,解得:x>1或x<$\frac{1}{3}$,
令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{3}$<x<1,
故f(x)在[-1,$\frac{1}{3}$)递增,在($\frac{1}{3}$,1]递减,
故f(x)的最大值是f($\frac{1}{3}$)=$\frac{4}{27}$,
而f(-1)=-4,f(1)=0,
故f(x)的最小值是-4,
故选:B.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

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