Question

【题目】（12分）

已知函数（a为实数）.

（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（2）求在区间上的最小值；

（3）若存在两个不等实数，使方程成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

（3）.

【解析】试题分析：（1）当时，对函数求导，再分别求出和，即可求得函数的图像在处的切线方程；（2）先利用导数研究函数的单调性，再对进行分类讨论，根据单调性，即可求得在区间上的最小值；（3）存在两个不等实数，使方程成立等价于有两个不等的解，令，利用导数研究函数的单调性，结合图象，即可求得实数的取值范围.

试题解析：(1)当时，，故切线的斜率为，所以切线方程为，即.

(2) ，

当时，在区间上，为增函数，所以，当时，在区间内，为减函数，在区间上，为增函数，所以.

(3)由，可得，则，令，则，

因为，所以，

所以实数的取值范围为.