Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x满足f（x）≤0．
（1）在数列{a_n}中，满足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通项；
（2）在数列{a_n}中依次取出第1项、第2项、第4项、…第2^n-1项…组成新数列{b_n}，求新数列的前n项和T_n；
（3）设cn=

n

anan+1

，求数列{c_n}的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的图象与性质，可得出△=a²-4a=0，解出a，再利用数列中a_n与 Sn关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求出{a_n}的通项．
（2）由（1）可以求出a_n=2n-5，从而b_n=2×2^n-1-5=2ⁿ-5，利用公式法及分组法求出T_n；
（3）c_n=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

利用4n+

15

n

单调性解决c_n的最值．

解答：解：（1）∵f（x）≤0有且仅有唯一的实数x满足，
∴△=a²-4a=0，∴a=0或a=4．
∵a≠0，∴a=4．
S_n=f（n）-4=n²-4n，
当n=1时，a₁=S₁=-3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，且对n=1也符合，∴a_n=2n-5．
（2）b_n=2×2^n-1-5=2ⁿ-5
∴T_n=（2+4+…+2ⁿ）-5n
=

2(1-2n)

1-2

-5n
=2ⁿ⁺¹-5n-2．
 （3）cn=

n

anan+1

=

n

(2n-5)(2n-3)

=

n

4n2-16n+15

=

1

4n+ 15 n -16

c1=

1

3

，c₂=-2，
当n≥3时，4（n+1）+

15

n+1

-（4n+

15

n

）=4-

15

n(n+1)

＞0，4n+

15

n

单调递增，且4n+

15

n

-16＞0，
数列{c_n}的最大值为c₃=1最小值c₂=-2．

点评：本题考查二次函数的图象与性质，数列通项公式求解，数列公式法、分组法求和，数列的函数性质．考查推理论证、计算能力，分类讨论的思想．