Question

【题目】证明f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

【答案】证法一：设0＜x1＜x2
则
=
∵0＜x1＜x2 ，
∴x2+x1＞0，x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是增函数
证法二：∵f（x）=﹣x2+3，
∴f′（x）=﹣2x，
当x∈（0，+∞）时，
f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是增函数
【解析】证法一：设0＜x1＜x2 ， 作差判断f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义，可得f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是减函数．
证法二：求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，可得：f（x）=﹣x2+3在（0，+∞）上是增函数
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．